1. Quelques exemples

Paver le plan c'est le recouvrir entièrement avec des figures de même forme et de même taille sans trou et sans chevauchement.

cliquer sur les motifs ci-dessous  pour voir des exemples de pavages

   

 


2. Peut-on paver le plan avec des polygones réguliers ?

Choisir un motif par un clic sur son nom , faire des essais et répondre.

 Avec la souris vous pouvez saisir les motifs par leur centre
Vous pouvez aussi les faire pivoter.


  oui
non

 

  oui
non

  oui
non

  oui
non

  oui
non

 


3. Tous les quadrilatères peuvent paver le plan

Avec des parallélogrammes

En agissant sur les deux points noirs,

vous pouvez modifier la forme des pavés .

On peut ainsi obtenir 
des parallélogrammes particuliers :

Losange

Rectangle

Carré

Avec un quadrilatère quelconque

Vous pouvez déformer le quadrilatère ABCD
en bougeant ses sommets à l'aide de la souris.

Derrière un quadrilatère se cache toujours
un parallélogramme, celui formé par les
milieux des côtés. (Théorème de Varignon)

Pour réaliser le pavage,
on construit le symétrique de ABCD par rapport
aux milieux I, J, K, L de ses côtés.

 

  

 

 

 


4. Créer un motif avec les translations, symétries et rotations

Avec des translations

Partant d'un pavage rectangulaire 
(ou à base de parallélogrammes), 
on déforme, par translation la figure de base
 selon le principe suivant  : 
un creux est compensé par une bosse
.

Cliquer pour construire

 

Avec des rotations

Partant d'un pavage basé 
sur le triangle équilatéral 
on déforme, par rotation la figure de base

 

Construction des motifs présentés en introduction

 

Au départ un carré OAEB de centre I ...

Au départ un triangle équilatéral BCD de centre A ...


5. Créer un motif avec la technique de l'enveloppe

On démontre qu'il existe  seulement 5 formes d'enveloppes :
le carré, le rectangle, le triangle équilatéral, le triangle rectangle isocèle et le demi triangle équilatéral.

Exemple 1 : l'enveloppe est un triangle rectangle isocèle

 

On utilise 2 triangles collés l'un sur l'autre avec des languettes ou du ruban adhésif.

Choisir un point sur une des faces.
Relier ce point aux 3 sommets du triangle par des lignes droites ou courbes.

Ces lignes ne doivent pas se couper.

Il reste à découper en suivant les lignes, une seule épaisseur à la fois et à déplier l'enveloppe.

 

Vous pouvez bouger le point intérieur.

L'enveloppe est dépliée et vous disposez de 5 motifs.

Les motifs bleus disposent de 2 points plus gros.
 L'un des points permet de translater le motif, l'autre de le faire tourner.

Vérifiez que ce motif pave le plan.

 


Exemple 2 : l'enveloppe est un encore un triangle rectangle isocèle

Cette fois, on dessine le motif sur deux faces. 
L'enveloppe dépliée, on peut reconnaître un oiseau en plein vol.

Sauriez-vous assembler les motifs ci-dessous ?

Chacun des oiseaux sauf "le rouge à oeil noir" peut être saisi par un point blanc.
On peut ainsi translater et faire pivoter le motif.



 

 Exemple 3 : l'enveloppe est un triangle équilatéral

Cet exemple reprend le modèle présenté à l'ouverture de cette page "le chinois".

Il s'agit d'un motif créé à la manière de Maurits Cornelius ESCHER (1898 - 1972)
 célèbre artiste néerlandais qui réalisa de nombreux pavages figuratifs.

Vous pouvez modifier le motif en agissant sur les points libres L0, L1, L2, l3, l5, l6, l7

Pour copier et imprimer double-cliquer dans la figure.